Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- d u = \sin (x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Bước 4

Giả sử $u = 2 \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \sec^{2} (t)$ dương.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \tan (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \tan^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5.1.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5.1.7

Viết lại $4 \sec^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2 \sec (t)$ ra ngoài $2 \sec^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \int \sec (t) d t$

Bước 6

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Bước 7

Rút gọn.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Bước 8

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

Bước 8.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$