Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

Bước 1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

Bước 1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

Bước 2

Tích phân của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{3})$ là $2$ .

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Bước 3.2.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Bước 3.2.3

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Bước 3.2.4

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Bước 3.2.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

Bước 3.2.6

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ xấp xỉ $3.7320508$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

Bước 3.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

Bước 3.3.3

Chia $2 + \sqrt{3}$ cho $1$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Dạng thập phân:

$1.31695789 \dots$