Giải tích Ví dụ

$\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9.3

Di chuyển ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 12

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 13.2

Nhân $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 14

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 15

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Cộng $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$\frac{x \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 15.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 16

Nhân $\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ với $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 17.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 17.3

Triệt tiêu thừa số chung $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 17.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 17.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 19

Nhân ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ với $1$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.2

Nhân ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.2.1

Di chuyển ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.2.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{1} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.3

Rút gọn $- 2 {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{x - 2 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.4

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{x - 2 (x + 1) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 1 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.5.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{x - 2 x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.6

Trừ $2 x$ khỏi $x$ .

$\frac{- x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.1.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- (x) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.6

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.8

Viết lại $- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ ở dạng $- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$