Giải tích Ví dụ

$lim_{y \to 2} {(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Đưa số mũ $\frac{1}{3}$ từ ${(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{y \to 2} \frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $y$ tiến dần đến $2$ .

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $y$ tiến dần đến $2$ .

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $y$ .

${(\frac{4 lim_{y \to 2} y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 5

Đưa số mũ $3$ từ $y^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $y$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $y$ tiến dần đến $2$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + lim_{y \to 2} 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 8

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $y$ tiến dần đến $2$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $y$ bằng cách điền vào $2$ cho $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $y$ bằng cách điền vào $2$ cho $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 9.3

Tính giới hạn của $y$ bằng cách điền vào $2$ cho $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2$ và $2 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \cdot 2^{3}$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $8 \cdot 2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 (1) + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 2})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.1.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.1.4.5

Viết lại biểu thức.

${(\frac{2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

${(\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${(\frac{2^{1 + 3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.2.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

${(\frac{2^{4} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

${(\frac{16 + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.2.3

Nhân $4$ với $2$ .

${(\frac{16 + 8}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.2.4

Cộng $16$ và $8$ .

${(\frac{24}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.3

Cộng $1$ và $2$ .

${(\frac{24}{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.4

Chia $24$ cho $3$ .

$8^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.5

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.6

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 10.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 10.7.2

Viết lại biểu thức.

$2^{1}$

Bước 10.8

Tính số mũ.

$2$