Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \sin (\frac{x}{2})$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.6

Kết hợp $\cos (\frac{x}{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.7

Kết hợp $3$ và $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ và $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Bước 2.3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Bước 2.3.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Bước 4

Cho tử bằng không.

$3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Bước 5

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 5.1.2.1.2

Chia $\cos (\frac{x}{2})$ cho $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

Bước 5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Bước 5.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 5.4

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

$x = π$

Bước 5.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 5.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Bước 5.6.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Bước 5.6.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Bước 5.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1

Rút gọn $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Bước 5.6.2.2.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Bước 5.6.2.2.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 5.6.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 5.6.2.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Bước 5.6.2.2.1.5

Nhân $2$ với $2$ .

$x = 4 π - π$

Bước 5.6.2.2.1.6

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = 3 π$

Bước 5.7

Đáp án của phương trình $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Bước 6

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = π$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Bước 7

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

Bước 7.2

Nhân $3$ với $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Bước 8

$x = π$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = π$ là cực đại địa phương

Bước 9

Tìm giá trị y khi $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $π$ trong biểu thức.

$f (π) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (π) = 3 \cdot 1 + 4$

Bước 9.2.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f (π) = 3 + 4$

Bước 9.2.2

Cộng $3$ và $4$ .

$f (π) = 7$

Bước 9.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $7$ .

$y = 7$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 3 π$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Bước 11.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Bước 11.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Bước 11.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{- 3}{4}$

Bước 11.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{3}{4}$

Bước 11.3

Nhân $- - \frac{3}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{3}{4})$

Bước 11.3.2

Nhân $\frac{3}{4}$ với $1$ .

$\frac{3}{4}$

Bước 12

$x = 3 π$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 3 π$ là cực tiểu địa phương

Bước 13

Tìm giá trị y khi $x = 3 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế biến $x$ bằng $3 π$ trong biểu thức.

$f (3 π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Bước 13.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

$f (3 π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

Bước 13.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

Bước 13.2.1.3

Nhân $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (3 π) = 3 \cdot - 1 + 4$

Bước 13.2.1.3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 + 4$

Bước 13.2.2

Cộng $- 3$ và $4$ .

$f (3 π) = 1$

Bước 13.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 14

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ .

$(π, 7)$ là một cực đại địa phuơng

$(3 π, 1)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 15