Giải tích Ví dụ

$\int y^{2} {(4 - y^{3})}^{\frac{2}{3}} d y$

Bước 1

Giả sử $u = 4 - y^{3}$ . Sau đó $d u = - 3 y^{2} d y$ , nên $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 - y^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 - y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [4 - y^{3}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $4$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{3}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 - (3 y^{2})$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$0 - 3 y^{2}$

Bước 1.1.4

Trừ $3 y^{2}$ khỏi $0$ .

$- 3 y^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{\frac{2}{3}} \frac{1}{- 3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int u^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{3}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $u^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3}} d u)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{2}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{3}{5}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $5$ với $3$ .

$- \frac{3}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{3 (1)}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 6.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 6.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - y^{3}$ .

$- \frac{1}{5} {(4 - y^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$