Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 7}{x^{2} - 4 x - 2 x^{3} - 1}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 2.1.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 2}{x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.2.4.2

Chia $- 2$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 2.6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 10

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 11

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 12

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 13

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Nhân $- 2$ với $0$ .

$\frac{4 + 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Bước 14.1.2

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Bước 14.1.3

Nhân $- 7$ với $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Bước 14.1.4

Cộng $4 + 0 + 0$ và $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Bước 14.1.5

Cộng $4 + 0$ và $0$ .

$\frac{4 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Bước 14.1.6

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{4}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Bước 14.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nhân $- 4$ với $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Bước 14.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2 - 0}$

Bước 14.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2 + 0}$

Bước 14.2.4

Cộng $0 + 0 - 2$ và $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2}$

Bước 14.2.5

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{4}{0 - 2}$

Bước 14.2.6

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$\frac{4}{- 2}$

Bước 14.3

Chia $4$ cho $- 2$ .

$- 2$