Giải tích Ví dụ

$- 4 + x = x^{2} y + 4 y^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- 4 + x) = \frac{d}{d x} (x^{2} y + 4 y^{2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.4

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + 4 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Bước 3.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y y')$

Bước 3.3.4

Nhân $2$ với $4$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 8 y y'$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{2} y' + 2 x y + 8 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = x^{2} y' + 2 x y + 8 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = 1$ .

$x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = 1$

Bước 5.2

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} y' + 8 y y' = 1 - 2 x y$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $x^{2} y' + 8 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 8 y y' = 1 - 2 x y$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $8 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (8 y) = 1 - 2 x y$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x^{2}) + y' (8 y)$ .

$y' (x^{2} + 8 y) = 1 - 2 x y$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (x^{2} + 8 y) = 1 - 2 x y$ cho $x^{2} + 8 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x^{2} + 8 y) = 1 - 2 x y$ cho $x^{2} + 8 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{1}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{1}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{1 - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$