Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Sau đó $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $3 x^{2} - 3$ và $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3.1.2

Nhân $- 3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Bước 1.5.1.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

Bước 1.5.2

Trừ $6$ khỏi $8$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Bước 1.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$u_{upper} = 3$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $e^{u}$ tại $3$ và tại $1$ .

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

Bước 5.2

Rút gọn.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Dạng thập phân:

$5.78908503 \dots$

Bước 8