Giải tích Ví dụ

$2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Bước 1

Viết $2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Bước 5

Giả sử $u = \frac{x}{3}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{3} d x$ , nên $3 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Bước 6.2

Nhân $3$ với $1$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Bước 6.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\csc^{2} (u)$ .

$2 \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Bước 7

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$2 (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Bước 8

Nhân $3$ với $2$ .

$6 \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 9

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$6 (- \cot (u) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$6 (- \cot (u)) + C$

Bước 10.2

Nhân $- 1$ với $6$ .

$- 6 \cot (u) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{3}$ .

$- 6 \cot (\frac{x}{3}) + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ .

$F (x) =$ $- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$