Giải tích Ví dụ

$x^{3} e^{x^{2}}$

Bước 1

Viết $x^{3} e^{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{u}{2}$ và $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Bước 7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Bước 11.2

Nhân $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Bước 11.2.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Bước 11.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$