Giải tích Ví dụ

$\sqrt{3 \cos^{3} (x)}$

Bước 1

Viết lại $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 \cos^{3} (x)}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $3 \cos^{3} (x)$ ở dạng $\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (\cos^{2} (x) \cos (x))}]$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại $3$ và $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot 3 \cos (x)}]$

Bước 1.1.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))}]$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 \cos (x)}$ ở dạng ${(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 (\cos (x)))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) (3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (\cos^{1} (x) {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Bước 7.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Bước 7.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 7.3

Vì $3^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 12.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 13

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 14

Kết hợp $\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 15

Nhân $3$ với $3^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Di chuyển $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 15.2

Nhân $3^{\frac{1}{2}}$ với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 15.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + 1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 15.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 15.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3^{\frac{1 + 2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 15.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 16

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (x))$

Bước 17

Kết hợp $\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $\sin (x)$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$