Giải tích Ví dụ

$y = \frac{2 x}{x + 1}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{x + 1})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{x + 1}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.6.4

Cộng $0$ và $1$ .

$2 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.6.5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$