Giải tích Ví dụ

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $x$ bằng $1$ .

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 + \sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$

Bước 2

Tính $\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 \sum_{x = 1}^{10} x + \sum_{x = 1}^{10} 9$

Bước 2.2

Tính $\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 2.2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

Bước 2.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

Bước 2.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

Bước 2.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân $2$ với $10$ .

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

Bước 2.2.3.2.2

Cộng $10$ và $1$ .

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

Bước 2.2.3.2.3

Nhân $5$ với $11$ .

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

Bước 2.2.3.2.4

Cộng $20$ và $1$ .

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

Bước 2.2.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.1

Nhân $55$ với $21$ .

$\frac{1155}{3}$

Bước 2.2.3.3.2

Chia $1155$ cho $3$ .

$385$

Bước 2.3

Tính $2 \sum_{x = 1}^{10} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 2.3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Cộng $10$ và $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Bước 2.3.3.1.2

Nhân $10$ với $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Bước 2.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 110$

Bước 2.3.3.3

Nhân $- 1$ với $110$ .

$- 110$

Bước 2.4

Tính $\sum_{x = 1}^{10} 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.4.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(9) (10)$

Bước 2.4.3

Nhân $9$ với $10$ .

$90$

Bước 2.5

Cộng các kết quả của tổng.

$385 - 110 + 90$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Trừ $110$ khỏi $385$ .

$275 + 90$

Bước 2.6.2

Cộng $275$ và $90$ .

$365$

Bước 3

Tính $\sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $x$ .

$0^{2} - 2 \cdot 0 + 9$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $0$ lên lũy thừa $2$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 9$

Bước 3.2.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$0 + 0 + 9$

Bước 3.2.3

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 9$

Bước 3.2.4

Cộng $0$ và $9$ .

$9$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$365 + 9$

Bước 5

Cộng $365$ và $9$ .

$374$