Giải tích Ví dụ

$y = 5 x (x^{2} + 6)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x (x^{2} + 6))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x (x^{2} + 6)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 6$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 6] + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$5 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (x (2 x + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$5 (x (2 x + 0) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$5 (x (2 x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 (2 (x^{1} x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \cdot 1)$

Bước 3.9

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $x^{2} + 6$ với $1$ .

$5 (2 x^{2} + x^{2} + 6)$

Bước 3.9.2

Cộng $2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$5 (3 x^{2} + 6)$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (3 x^{2}) + 5 \cdot 6$

Bước 3.10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.1

Nhân $3$ với $5$ .

$15 x^{2} + 5 \cdot 6$

Bước 3.10.2.2

Nhân $5$ với $6$ .

$15 x^{2} + 30$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 15 x^{2} + 30$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} + 30$