Giải tích Ví dụ

$- x y - y^{3} = - x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- x y - y^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x y - y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Bước 2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (x y' + y) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- (x y' + y) - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (x y' + y) - (3 y^{2} y')$

Bước 2.3.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- (x y' + y) - 3 y^{2} y'$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (x y') - y - 3 y^{2} y'$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x y' - 3 y^{2} y' - y$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- x y' - 3 y^{2} y' - y = - 1$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x y' - 3 y^{2} y' = - 1 + y$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y' - 3 y^{2} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y'$ .

$y' (- x) - 3 y^{2} y' = - 1 + y$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- x) + y' (- 3 y^{2}) = - 1 + y$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- x) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (- x - 3 y^{2}) = - 1 + y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x - 3 y^{2}) = - 1 + y$ cho $- x - 3 y^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x - 3 y^{2}) = - 1 + y$ cho $- x - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- x - 3 y^{2})}{- x - 3 y^{2}} = \frac{- 1}{- x - 3 y^{2}} + \frac{y}{- x - 3 y^{2}}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- x - 3 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- x - 3 y^{2})}{- x - 3 y^{2}} = \frac{- 1}{- x - 3 y^{2}} + \frac{y}{- x - 3 y^{2}}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- x - 3 y^{2}} + \frac{y}{- x - 3 y^{2}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 1 + y}{- x - 3 y^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) + y}{- x - 3 y^{2}}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $y$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 1 (- y)}{- x - 3 y^{2}}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- x - 3 y^{2}}$

Bước 5.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- (x) - 3 y^{2}}$

Bước 5.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- (x) - (3 y^{2})}$

Bước 5.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- (x + 3 y^{2})}$

Bước 5.3.3.8

Viết lại $- (x + 3 y^{2})$ ở dạng $- 1 (x + 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- 1 (x + 3 y^{2})}$

Bước 5.3.3.9

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- 1 (x + 3 y^{2})}$

Bước 5.3.3.10

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{1 - y}{x + 3 y^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x + 3 y^{2}}$