Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Bước 6

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} d x$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Bước 11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 11.2

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 11.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 11.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Bước 13.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Bước 13.3

Tính $- x^{- 1}$ tại $2$ và tại $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{8 - 1}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.4

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.5

Kết hợp $3$ và $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.6

Nhân $3$ với $7$ .

$\frac{21}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.7

Triệt tiêu thừa số chung của $21$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.7.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$7 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$7 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.9

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$7 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.9.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$7 - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$7 - 4 (2 - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.11

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$7 - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.12

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.14.1

Nhân $2$ với $2$ .

$7 - 4 \frac{4 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.14.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$7 - 4 (\frac{3}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.15

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{2}$ .

$7 + \frac{- 4 \cdot 3}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.16

Nhân $- 4$ với $3$ .

$7 + \frac{- 12}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.17

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.17.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.17.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$7 + \frac{- 6}{1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.17.2.4

Chia $- 6$ cho $1$ .

$7 - 6 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.18

Trừ $6$ khỏi $7$ .

$1 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 13.4.19

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Bước 13.4.20

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1)$

Bước 13.4.21

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Bước 13.4.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 - 2 \frac{- 1 + 2}{2}$

Bước 13.4.23

Cộng $- 1$ và $2$ .

$1 - 2 (\frac{1}{2})$

Bước 13.4.24

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{- 2}{2}$

Bước 13.4.25

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.25.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Bước 13.4.25.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.25.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Bước 13.4.25.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Bước 13.4.25.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{- 1}{1}$

Bước 13.4.25.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$1 - 1$

Bước 13.4.26

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0$

Bước 14