Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x)) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Bước 4

Vì đạo hàm của $\sec (x)$ là $\tan (x) \sec (x)$ , tích phân của $\tan (x) \sec (x)$ là $\sec (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Bước 6

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính $\sec (x)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$3 ((\sec (\frac{π}{3})) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Bước 7.1.2

Tính $\sin (x)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$3 (\sec (\frac{π}{3}) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{3})$ là $2$ .

$3 (2 - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Bước 7.2.2

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Bước 7.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Bước 7.2.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \cdot 2 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$6 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.3.3

Nhân $3 (- \frac{2}{\sqrt{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$6 - 3 \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.3.3.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.3.3.3

Nhân $- 3$ với $2$ .

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 7.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ vào tử số.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 7.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 7.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 - \frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Nhân $\frac{6}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.2.1

Nhân $\frac{6}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.2.6.5

Tính số mũ.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 \sqrt{2}$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 - \frac{3 \sqrt{2}}{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.3.2.4

Chia $3 \sqrt{2}$ cho $1$ .

$6 - (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.1.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$6 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Bước 7.4.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- 3 \sqrt{2}$ .

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$2.07519655 \dots$