Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Bước 1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Bước 1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 e^{- x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Bước 1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ .

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Sau đó $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , nên $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 3.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.1.4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.1.4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.1.4.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.1.4.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 3.1.4.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 3.1.4.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- 2}$ đối với $u_{2}$ là $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ ở dạng $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Bước 6.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

Bước 6.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$