Giải tích Ví dụ

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

Bước 1

Viết $\frac{1 + \ln (x)}{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1 + \ln (x)}{x} d x$

Bước 4

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{1}{x} + \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 7

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 7.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int u d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 9

Rút gọn.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$