Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Bước 3

Vì $2 k$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 k$ ra khỏi tích phân.

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $k$ và tại $0$ .

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $k$ và tại $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.4

Cộng $\frac{k^{2}}{2}$ và $0$ .

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.5

Kết hợp $2$ và $\frac{k^{2}}{2}$ .

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.6

Kết hợp $k$ và $\frac{2 k^{2}}{2}$ .

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.7

Nâng $k$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.9

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.10.2

Chia $k^{3}$ cho $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 8.2.3.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 8.2.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 8.2.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 8.2.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 8.2.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 8.2.3.12.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

Bước 8.2.3.13

Nhân $- 1$ với $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

Bước 8.2.3.14

Cộng $\frac{k^{3}}{3}$ và $0$ .

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Bước 8.2.3.15

Để viết $k^{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Bước 8.2.3.16

Kết hợp $k^{3}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Bước 8.2.3.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

Bước 8.2.3.18

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $k^{3}$ .

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

Bước 8.2.3.19

Trừ $k^{3}$ khỏi $3 k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$

Bước 8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{3} k^{3}$

Bước 9

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$