Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Bước 2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = x + 2$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = x + 2$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Bước 3.3

Cộng $2$ và $2$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x + 2$ .

$u_{upper} = t + 2$

Bước 3.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

Bước 3.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , nên $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Bước 4.3

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Bước 4.4

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Bước 4.5

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- 2}$ đối với $u_{2}$ là $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

Bước 7

Tính $- {u_{2}}^{- 1}$ tại $\ln (t + 2)$ và tại $\ln (4)$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

Bước 8

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

Bước 8.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Bước 8.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Bước 8.4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ tiến dần đến $0$ .

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Bước 8.5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Tính giới hạn của $\ln^{- 1} (4)$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

Bước 8.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

Bước 8.5.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

Bước 8.5.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{5}{\ln (4)}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5}{\ln (4)}$

Dạng thập phân:

$3.60673760 \dots$