Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{x^{2}}{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2 y}$ đối với $y$ là $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{y}$ ở dạng $y^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{- 2}$ .

$- \frac{x^{2} y^{- 2}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Bước 2.5

Di chuyển $y^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{3}{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{3 y^{2}}{x}$ đối với $y$ là $\frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} (2 y)$

Bước 3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{2 \cdot 3}{x} y$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6}{x} y$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{6}{x}$ và $y$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6 y}{x}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6 y}{x} - \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$