Giải tích Ví dụ

$2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 3 x^{2} + 7 x$ .

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7 x] + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$2 (x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (x^{4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $3$ .

$2 (x^{4} (6 x + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.5

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7 \cdot 1) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.7

Nhân $7$ với $1$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) (4 x^{3}))$

Bước 3.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $3 x^{2} + 7 x$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7) + 4 \cdot (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + (4 (3 x^{2}) + 4 (7 x)) x^{3})$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2}) x^{3} + 4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (x^{4} (6 x)) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.1.2

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (x^{1} x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (x^{1 + 4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$2 (x^{5} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{5}$ .

$2 (6 \cdot x^{5}) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.3

Nhân $6$ với $2$ .

$12 x^{5} + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.4

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$12 x^{5} + 2 (7 \cdot x^{4}) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.5

Nhân $7$ với $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.6

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{2} x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.7

Nhân $x^{2}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 (x^{3} x^{2})) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{3 + 2}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.7.3

Cộng $3$ và $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{5}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.8

Nhân $12$ với $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Bước 4.5.9

Nhân $7$ với $4$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x \cdot x^{3})$

Bước 4.5.10

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.10.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x))$

Bước 4.5.10.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.10.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x^{1}))$

Bước 4.5.10.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{3 + 1})$

Bước 4.5.10.3

Cộng $3$ và $1$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{4})$

Bước 4.5.11

Nhân $28$ với $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 56 x^{4}$

Bước 4.5.12

Cộng $12 x^{5}$ và $24 x^{5}$ .

$36 x^{5} + 14 x^{4} + 56 x^{4}$

Bước 4.5.13

Cộng $14 x^{4}$ và $56 x^{4}$ .

$36 x^{5} + 70 x^{4}$