Giải tích Ví dụ

$lim_{z \to 2} {(\frac{2 z + z^{2}}{z^{2} + 4})}^{3}$

Bước 1

Đưa số mũ $3$ từ ${(\frac{2 z + z^{2}}{z^{2} + 4})}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{z \to 2} \frac{2 z + z^{2}}{z^{2} + 4})}^{3}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $z$ tiến dần đến $2$ .

${(\frac{lim_{z \to 2} 2 z + z^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $z$ tiến dần đến $2$ .

${(\frac{lim_{z \to 2} 2 z + lim_{z \to 2} z^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $z$ .

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + lim_{z \to 2} z^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $z^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $z$ tiến dần đến $2$ .

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + lim_{z \to 2} 4})}^{3}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $z^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + lim_{z \to 2} 4})}^{3}$

Bước 8

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $z$ tiến dần đến $2$ .

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + 4})}^{3}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $z$ bằng cách điền vào $2$ cho $z$ .

${(\frac{2 \cdot 2 + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + 4})}^{3}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $z$ bằng cách điền vào $2$ cho $z$ .

${(\frac{2 \cdot 2 + 2^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + 4})}^{3}$

Bước 9.3

Tính giới hạn của $z$ bằng cách điền vào $2$ cho $z$ .

${(\frac{2 \cdot 2 + 2^{2}}{2^{2} + 4})}^{3}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

${(\frac{4 + 2^{2}}{2^{2} + 4})}^{3}$

Bước 10.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

${(\frac{4 + 4}{2^{2} + 4})}^{3}$

Bước 10.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

${(\frac{8}{2^{2} + 4})}^{3}$

Bước 10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

${(\frac{8}{4 + 4})}^{3}$

Bước 10.2.2

Cộng $4$ và $4$ .

${(\frac{8}{8})}^{3}$

Bước 10.3

Chia $8$ cho $8$ .

$1^{3}$

Bước 10.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1$