Giải tích Ví dụ

$- 2 y^{2} + x^{2} = - 2 + y + 2 y^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 + y + 2 y^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 y^{2} + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 y^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 4 y y' + 2 x$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 + y + 2 y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Bước 3.2

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$0 + y' + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$0 + y' + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 + y' + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$0 + y' + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$0 + y' + 2 (3 y^{2} y')$

Bước 3.4.4

Nhân $3$ với $2$ .

$0 + y' + 6 y^{2} y'$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $0$ và $y'$ .

$y' + 6 y^{2} y'$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 y^{2} y' + y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 4 y y' + 2 x = 6 y^{2} y' + y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $y'$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$6 y^{2} y' + y' = - 4 y y' + 2 x$

Bước 5.2

Cộng $4 y y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$6 y^{2} y' + y' + 4 y y' = 2 x$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $6 y^{2} y' + y' + 4 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $6 y^{2} y'$ .

$y' (6 y^{2}) + y' + 4 y y' = 2 x$

Bước 5.3.2

Nâng $y'$ lên lũy thừa $1$ .

$y' (6 y^{2}) + y' + 4 y y' = 2 x$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' (6 y^{2}) + y' \cdot 1 + 4 y y' = 2 x$

Bước 5.3.4

Đưa $y'$ ra ngoài $4 y y'$ .

$y' (6 y^{2}) + y' \cdot 1 + y' (4 y) = 2 x$

Bước 5.3.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (6 y^{2}) + y' \cdot 1$ .

$y' (6 y^{2} + 1) + y' (4 y) = 2 x$

Bước 5.3.6

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (6 y^{2} + 1) + y' (4 y)$ .

$y' (6 y^{2} + 1 + 4 y) = 2 x$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y' (6 y^{2} + 4 y + 1) = 2 x$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (6 y^{2} + 4 y + 1) = 2 x$ cho $6 y^{2} + 4 y + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (6 y^{2} + 4 y + 1) = 2 x$ cho $6 y^{2} + 4 y + 1$ .

$\frac{y' (6 y^{2} + 4 y + 1)}{6 y^{2} + 4 y + 1} = \frac{2 x}{6 y^{2} + 4 y + 1}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6 y^{2} + 4 y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (6 y^{2} + 4 y + 1)}{6 y^{2} + 4 y + 1} = \frac{2 x}{6 y^{2} + 4 y + 1}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 x}{6 y^{2} + 4 y + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{6 y^{2} + 4 y + 1}$