Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Bước 2

Viết lại $- 1 u^{3}$ ở dạng $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{u^{4}}{4}$ tại $\frac{1}{2}$ và tại $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 6.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

Bước 7.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

Bước 7.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

Bước 7.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

Bước 7.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Bước 7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Bước 7.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $- 1$ với $16$ .

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

Bước 7.6.2

Trừ $16$ khỏi $1$ .

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

Bước 7.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

Bước 7.8

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 7.9

Nhân $- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{15}{16}$ .

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

Bước 7.9.2

Nhân $4$ với $16$ .

$- - \frac{15}{64}$

Bước 7.10

Nhân $- - \frac{15}{64}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Bước 7.10.2

Nhân $\frac{15}{64}$ với $1$ .

$\frac{15}{64}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{15}{64}$

Dạng thập phân:

$0.234375$