Giải tích Ví dụ

$\ln (1 + x)$

Bước 1

Viết $\ln (1 + x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \ln (1 + x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \ln (1 + x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (1 + x)$ và $d v = 1$ .

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 5

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Bước 6

Chia $x$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Bước 6.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Bước 6.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Bước 6.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Bước 6.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Bước 6.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 10

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 10.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 10.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 10.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

Bước 12

Rút gọn.

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \ln (1 + x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$