Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $i$ bằng $1$ .

$\sum_{k = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 - \sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$

Bước 2

Tính $\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 \sum_{k = 1}^{23} i + \sum_{k = 1}^{23} 7$

Bước 2.2

Tính $\sum_{k = 1}^{23} i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 2.2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{23 (23 + 1) (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Cộng $23$ và $1$ .

$\frac{23 \cdot 24 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.2.1

Nhân $23$ với $24$ .

$\frac{552 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3.1.2.2

Nhân $2$ với $23$ .

$\frac{552 (46 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3.1.3

Cộng $46$ và $1$ .

$\frac{552 \cdot 47}{6}$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân $552$ với $47$ .

$\frac{25944}{6}$

Bước 2.2.3.2.2

Chia $25944$ cho $6$ .

$4324$

Bước 2.3

Tính $2 \sum_{k = 1}^{23} i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 2.3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 2) (\frac{23 (23 + 1)}{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Cộng $23$ và $1$ .

$- 2 \frac{23 \cdot 24}{2}$

Bước 2.3.3.1.2

Nhân $23$ với $24$ .

$- 2 (\frac{552}{2})$

Bước 2.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{552}{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{552}{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 552$

Bước 2.3.3.3

Nhân $- 1$ với $552$ .

$- 552$

Bước 2.4

Tính $\sum_{k = 1}^{23} 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.4.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(7) (23)$

Bước 2.4.3

Nhân $7$ với $23$ .

$161$

Bước 2.5

Cộng các kết quả của tổng.

$4324 - 552 + 161$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Trừ $552$ khỏi $4324$ .

$3772 + 161$

Bước 2.6.2

Cộng $3772$ và $161$ .

$3933$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $i$ .

$1^{2} - 2 \cdot 1 + 7 + 2^{2} - 2 \cdot 2 + 7 + 3^{2} - 2 \cdot 3 + 7 + \dots + 5^{2} - 2 \cdot 5 + 7$

Bước 3.2

Rút gọn dạng đã khai triển.

$60$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$3933 - 60$

Bước 5

Trừ $60$ khỏi $3933$ .

$3873$