Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Bước 3.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Bước 3.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Bước 3.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Bước 3.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Bước 3.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Bước 5.2

Tính $\frac{u_{2}}{2}$ tại $e^{t^{2}}$ và tại $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 6

Vì hàm số $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ tiến dần đến $\infty$ , hằng số dương $2$ nhân với hàm số tiến dần đến $\infty$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Xét giới hạn với bội số không đổi $2$ đã bị loại bỏ.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 6.2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

Bước 6.2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Bước 6.2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Bước 6.3

Vì số mũ $t^{2}$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{t^{2}}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Bước 6.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Bước 6.4.2

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

Bước 6.4.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

Bước 6.4.3.1.2

Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.

$\frac{\infty}{2}$

Bước 6.4.3.2

Số vô cùng khi chia cho một số khác không hữu hạn sẽ cũng cho ra số vô cùng.

$\infty$