Giải tích Ví dụ

$5 x y + y - x - 3 = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (5 x y + y - x - 3) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x y + y - x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x y$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$5 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$5 (x y' + y) + y' + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x y' + y) + y' - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (x y' + y) + y' - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$5 (x y' + y) + y' - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$5 (x y' + y) + y' - 1 + 0$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (x y') + 5 y + y' - 1 + 0$

Bước 2.6.2

Cộng $5 x y' + 5 y + y' - 1$ và $0$ .

$5 x y' + 5 y + y' - 1$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$5 x y' + 5 y + y' - 1 = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $5 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5 x y' + y' - 1 = - 5 y$

Bước 5.1.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$5 x y' + y' = - 5 y + 1$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $5 x y' + y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $5 x y'$ .

$y' (5 x) + y' = - 5 y + 1$

Bước 5.2.2

Nâng $y'$ lên lũy thừa $1$ .

$y' (5 x) + y' = - 5 y + 1$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' (5 x) + y' \cdot 1 = - 5 y + 1$

Bước 5.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (5 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (5 x + 1) = - 5 y + 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (5 x + 1) = - 5 y + 1$ cho $5 x + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (5 x + 1) = - 5 y + 1$ cho $5 x + 1$ .

$\frac{y' (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{- 5 y}{5 x + 1} + \frac{1}{5 x + 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{- 5 y}{5 x + 1} + \frac{1}{5 x + 1}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{5 x + 1} + \frac{1}{5 x + 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 5 y + 1}{5 x + 1}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 y$ .

$y' = \frac{- (5 y) + 1}{5 x + 1}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (5 y) - 1 (- 1)}{5 x + 1}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (5 y - 1)}{5 x + 1}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Viết lại $- (5 y - 1)$ ở dạng $- 1 (5 y - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 y - 1)}{5 x + 1}$

Bước 5.3.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{5 y - 1}{5 x + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y - 1}{5 x + 1}$