Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (x)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ trong đó $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

Bước 2

Rút gọn hàm được tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{1 + x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

Bước 3

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

Bước 4

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 1 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 1 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 5.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 5.3

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Bước 5.5

Cộng $1$ và $3$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $- u^{- 1}$ tại $4$ và tại $1$ .

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Bước 8.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

Bước 8.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Bước 8.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

Bước 8.2.5

Cộng $- 1$ và $4$ .

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

Bước 8.2.6

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $9$ .

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

Bước 8.2.7

Nhân $3$ với $9$ .

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

Bước 8.2.8

Kết hợp $\frac{27}{4}$ và $π$ .

$V = \frac{27 π}{4}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = \frac{27 π}{4}$

Dạng thập phân:

$V = 21.20575041 \dots$

Bước 10