Giải tích Ví dụ

$x y + x^{3} = y^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (x y + x^{3}) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + x^{3}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x$ và $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Bước 2.2.4

Nhân $x$ với $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{3}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$x + y x' + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x + y x' + 3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$x + y x' + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x + y x' + 3 x^{2} x'$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y x' + 3 x^{2} x' + x$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 y$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y x' + 3 x^{2} x' + x = 2 y$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x' + 3 x^{2} x' = 2 y - x$

Bước 5.2

Đưa $x'$ ra ngoài $y x' + 3 x^{2} x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x'$ ra ngoài $y x'$ .

$x' y + 3 x^{2} x' = 2 y - x$

Bước 5.2.2

Đưa $x'$ ra ngoài $3 x^{2} x'$ .

$x' (y) + x' (3 x^{2}) = 2 y - x$

Bước 5.2.3

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (y) + x' (3 x^{2})$ .

$x' (y + 3 x^{2}) = 2 y - x$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $x' (y + 3 x^{2}) = 2 y - x$ cho $y + 3 x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x' (y + 3 x^{2}) = 2 y - x$ cho $y + 3 x^{2}$ .

$\frac{x' (y + 3 x^{2})}{y + 3 x^{2}} = \frac{2 y}{y + 3 x^{2}} + \frac{- x}{y + 3 x^{2}}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (y + 3 x^{2})}{y + 3 x^{2}} = \frac{2 y}{y + 3 x^{2}} + \frac{- x}{y + 3 x^{2}}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{2 y}{y + 3 x^{2}} + \frac{- x}{y + 3 x^{2}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x' = \frac{2 y - x}{y + 3 x^{2}}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 y - x}{y + 3 x^{2}}$