Giải tích Ví dụ

$x - \sin (2 x)$

Bước 1

Viết $x - \sin (2 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x - \sin (2 x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x - \sin (2 x) d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x d x + \int - \sin (2 x) d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \sin (2 x) d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (2 x) d x$

Bước 7

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 8

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Bước 10

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u) + C$

Bước 11.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (u) + C$

Bước 11.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (u)}{2} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x - \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$