Giải tích Ví dụ

$- 3 y - x = 4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- 3 y - x) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 3 y - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 y$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 3 y' + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 y' - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 y' - 1 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 3 y' - 1$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 1 - 3 y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.2.4

Nhân $3$ với $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.3.4

Nhân $2$ với $2$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 (3 x^{2})$

Bước 3.4.3

Nhân $3$ với $3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 9 x^{2}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 1 - 3 y' = 9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $y'$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' = - 1 - 3 y'$

Bước 5.2

Cộng $3 y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1$

Bước 5.3

Trừ $9 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Bước 5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $12 y^{2} y'$ .

$y' (12 y^{2}) + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Bước 5.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài $4 y y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Bước 5.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

Bước 5.4.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (12 y^{2}) + y' (4 y)$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

Bước 5.4.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ cho $12 y^{2} + 4 y + 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ cho $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 1 - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Bước 5.5.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Bước 5.5.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 9 x^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Bước 5.5.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (9 x^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Bước 5.5.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$