Giải tích Ví dụ

$e^{x} \cdot \sin (x)$

Bước 1

Viết $e^{x} \cdot \sin (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{x} \cdot \sin (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{x} \cdot \sin (x) d x$

Bước 4

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\sin (x)$ .

$\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (x)$ và $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Bước 6

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\cos (x)$ .

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (x)$ và $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Bước 9

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Bước 9.2

Nhân $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ với $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Bước 9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Bước 10

Khi giải tìm $\int e^{x} \cdot \sin (x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{x} \cdot \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Bước 11

Viết lại $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ ở dạng $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} \cdot \sin (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$