Giải tích Ví dụ

$\int {(1 + x^{2})}^{2} \cdot 6 x d x$

Bước 1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\int 6 {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Bước 2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Bước 3

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 3.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 \int u^{2} \frac{1}{2} d u$

Bước 4

Kết hợp $u^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{2}}{2} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{2} d u$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{2} d u$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{2} d u$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{2} d u$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} \int u^{2} d u$

Bước 6.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 \int u^{2} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Bước 8.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 u^{3} + C$

Bước 8.2.3

Nhân $u^{3}$ với $1$ .

$u^{3} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

${(1 + x^{2})}^{3} + C$