Giải tích Ví dụ

$y = x^{3} + x^{2} - 5$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + x^{2} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 2 x + 0$

Bước 1.5

Cộng $3 x^{2} + 2 x$ và $0$ .

$3 x^{2} + 2 x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + x^{2} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 4.1.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 2 x + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $3 x^{2} + 2 x$ và $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $3 x^{2} + 2 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Bước 5.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 2 x = 0$

Bước 5.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 2 = 0$

Bước 5.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x) + x \cdot 2$ .

$x (3 x + 2) = 0$

Bước 5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Bước 5.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 5.5

Đặt $3 x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $3 x + 2$ bằng với $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Bước 5.5.2

Giải $3 x + 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = - 2$

Bước 5.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 2$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 2$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Bước 5.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Bước 5.5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Bước 5.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{2}{3}$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (3 x + 2) = 0$ đúng.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$6 (0) + 2$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $6$ với $0$ .

$0 + 2$

Bước 9.2

Cộng $0$ và $2$ .

$2$

Bước 10

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 5$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 5$

Bước 11.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Bước 11.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Bước 11.2.2.2

Trừ $5$ khỏi $0$ .

$f (0) = - 5$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 5$ .

$y = - 5$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \frac{2}{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$6 (- \frac{2}{3}) + 2$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{3}$ vào tử số.

$6 (\frac{- 2}{3}) + 2$

Bước 13.1.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$3 (2) \frac{- 2}{3} + 2$

Bước 13.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 2 \frac{- 2}{3} + 2$

Bước 13.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot - 2 + 2$

Bước 13.1.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 4 + 2$

Bước 13.2

Cộng $- 4$ và $2$ .

$- 2$

Bước 14

$x = - \frac{2}{3}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \frac{2}{3}$ là cực đại địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = - \frac{2}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{2}{3}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Bước 15.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Bước 15.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Bước 15.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Bước 15.2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Bước 15.2.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} - 5$

Bước 15.2.1.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

Bước 15.2.1.6

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

Bước 15.2.1.7

Nhân $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ với $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{2^{2}}{3^{2}} - 5$

Bước 15.2.1.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{3^{2}} - 5$

Bước 15.2.1.9

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} - 5$

Bước 15.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.1

Nhân $\frac{4}{9}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3} - 5$

Bước 15.2.2.2

Nhân $\frac{4}{9}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 5$

Bước 15.2.2.3

Viết $- 5$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1}$

Bước 15.2.2.4

Nhân $\frac{- 5}{1}$ với $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Bước 15.2.2.5

Nhân $\frac{- 5}{1}$ với $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Bước 15.2.2.6

Sắp xếp lại các thừa số của $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Bước 15.2.2.7

Nhân $3$ với $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Bước 15.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 - 5 \cdot 27}{27}$

Bước 15.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.4.1

Nhân $4$ với $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 5 \cdot 27}{27}$

Bước 15.2.4.2

Nhân $- 5$ với $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 135}{27}$

Bước 15.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.5.1

Cộng $- 8$ và $12$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 135}{27}$

Bước 15.2.5.2

Trừ $135$ khỏi $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 131}{27}$

Bước 15.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{131}{27}$

Bước 15.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{131}{27}$ .

$y = - \frac{131}{27}$

Bước 16

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{3} + x^{2} - 5$ .

$(0, - 5)$ là một cực tiểu địa phương

$(- \frac{2}{3}, - \frac{131}{27})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 17