Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 3.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ và $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Bước 6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Bước 6.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Bước 6.2.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Bước 6.2.2.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

Bước 6.2.2.4

Để viết $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

Bước 6.2.2.5

Kết hợp $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Bước 6.2.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Bước 6.2.2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

Bước 7.1.1.1.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

Bước 7.1.1.2

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

Bước 7.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Bước 7.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Bước 7.1.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

Bước 7.1.1.4

Viết lại $e^{2} - 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

Bước 7.1.1.4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e$ và $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

Bước 7.1.2

$e$ xấp xỉ $2.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

Bước 7.1.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

Bước 7.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

Bước 7.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

Bước 7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Khai triển $(e + 1) (e - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Bước 7.4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Bước 7.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Bước 7.4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e$ .

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Bước 7.4.2.1.2

Viết lại $- 1 e$ ở dạng $- e$ .

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Bước 7.4.2.1.3

Nhân $e$ với $1$ .

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Bước 7.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

Bước 7.4.2.2

Cộng $- e$ và $e$ .

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

Bước 7.4.2.3

Cộng $e e$ và $0$ .

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

Bước 7.4.3

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{e e + 1}{2}$

Bước 7.4.4

Nhân $e e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.4.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

Bước 7.4.4.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

Bước 7.4.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

Bước 7.4.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Dạng thập phân:

$4.19452804 \dots$

Bước 9