Giải tích Ví dụ

Vì ${\displaystyle -7}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle -7\cos (\frac{2x}{3}-4)}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle -7\frac{d}{dx}\left[\cos (\frac{2x}{3}-4)\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{2x}{3}-4}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle \frac{2x}{3}-4}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2x}{3}\right]+\frac{d}{dx}[-4]}$.

Vì ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle \frac{2x}{3}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{2}{3}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Vì ${\displaystyle -4}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle -4}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ với ${\displaystyle 1}$.

Cộng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ và ${\displaystyle 0}$.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ và ${\displaystyle \sin (\frac{2x}{3}-4)}$.

Nhân ${\displaystyle -1}$ với ${\displaystyle -7}$.

Kết hợp ${\displaystyle 7}$ và ${\displaystyle \frac{2\sin (\frac{2x}{3}-4)}{3}}$.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle 7}$.

Vì ${\displaystyle 3}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle 3}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Cộng ${\displaystyle \frac{14\sin (\frac{2x}{3}-4)}{3}}$ và ${\displaystyle 0}$.

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ${\displaystyle u}$ ở dạng ${\displaystyle \frac{2x}{3}-4}$.

Đạo hàm của ${\displaystyle \sin \left(u\right)}$ đối với ${\displaystyle u}$ là ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$.

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của ${\displaystyle u}$ với ${\displaystyle \frac{2x}{3}-4}$.

Kết hợp ${\displaystyle \cos (\frac{2x}{3}-4)}$ và ${\displaystyle \frac{14}{3}}$.

Di chuyển ${\displaystyle 14}$ sang phía bên trái của ${\displaystyle \cos (\frac{2x}{3}-4)}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle \frac{2x}{3}-4}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2x}{3}\right]+\frac{d}{dx}[-4]}$.

Vì ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle \frac{2x}{3}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{2}{3}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ với ${\displaystyle 1}$.

Vì ${\displaystyle -4}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle -4}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Kết hợp các phân số.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle 14\sin (\frac{2x}{3}-4)=0}$ cho ${\displaystyle 14}$.

Rút gọn vế trái.

Rút gọn vế phải.

Giá trị chính xác của ${\displaystyle \arcsin \left(0\right)}$ là ${\displaystyle 0}$.

Rút gọn vế trái.

Rút gọn vế phải.

Trừ ${\displaystyle 0}$ khỏi ${\displaystyle \pi }$.

Cộng ${\displaystyle 4}$ cho cả hai vế của phương trình.

Nhân cả hai vế của phương trình với ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Đưa ${\displaystyle 3}$ ra ngoài ${\displaystyle 2\left(6\right)}$.

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle 2}$.

Trừ ${\displaystyle 4}$ khỏi ${\displaystyle 4}$.

Giá trị chính xác của ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ là ${\displaystyle 1}$.

Rút gọn mỗi số hạng.

Cộng ${\displaystyle -7}$ và ${\displaystyle 3}$.

Câu trả lời cuối cùng là ${\displaystyle -4}$.

Đưa ${\displaystyle 3}$ ra ngoài ${\displaystyle 2(\frac{3\pi }{2}+6)}$.

Triệt tiêu các thừa số chung.

Rút gọn mỗi số hạng.

Trừ ${\displaystyle 4}$ khỏi ${\displaystyle 4}$.

Cộng ${\displaystyle \pi }$ và ${\displaystyle 0}$.

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

Giá trị chính xác của ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ là ${\displaystyle 1}$.

Nhân ${\displaystyle -1}$ với ${\displaystyle 1}$.

Nhân ${\displaystyle 28}$ với ${\displaystyle -1}$.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Rút gọn mỗi số hạng.

Cộng ${\displaystyle 7}$ và ${\displaystyle 3}$.

Câu trả lời cuối cùng là ${\displaystyle 10}$.