Giải tích Ví dụ

$\int \sin (3 x) + e^{2 x + 1} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sin (3 x) d x + \int e^{2 x + 1} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 3 x$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Bước 3

Kết hợp $\sin (u_{1})$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Bước 5

Tích phân của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{2 x + 1} d x$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = 2 x + 1$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 6.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 6.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 6.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 6.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 6.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 9

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x + 1$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$