Giải tích Ví dụ

$- \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Bước 1

Viết $- \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 6 x + 1$ . Sau đó $d u = 6 d x$ , nên $\frac{1}{6} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 6 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $6$ và $0$ .

$6$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{6}$ .

$- \int \frac{1}{u^{2} \cdot 6} d u$

Bước 6.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$- \int \frac{1}{6 u^{2}} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Bước 8

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 8.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 8.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{- 2} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{u} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $\frac{1}{6}$ với $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{u} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{6 u} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x + 1$ .

$\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$