Giải tích Ví dụ

$y = x^{5 \sin (x)}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5 \sin (x)})$

Bước 2

Khai triển $\ln (x^{5 \sin (x)})$ bằng cách di chuyển $5 \sin (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = 5 \sin (x) \ln (x)$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = 5 \sin (x) \ln (x)$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $5 \sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \sin (x) \ln (x)]$

Bước 3.2.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \sin (x) \ln (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2.4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2.5

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2.6

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Bước 3.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{\sin (x)}{x} + 5 (\ln (x) \cos (x))$

Bước 3.2.7.2

Kết hợp $5$ và $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \sin (x)}{x} + 5 \ln (x) \cos (x)$

Bước 3.2.7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = (5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $5 \cos (x) \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại $\ln (x)$ và $5$ .

$y' = (5 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Bước 5.1.2

Rút gọn $5 \cdot \ln (x)$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$y' = (\ln (x^{5}) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x)}{x} x^{5 \sin (x)}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{5 \sin (x)}{x}$ và $x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}}{x}$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{5 \sin (x)}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

Bước 5.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Bước 5.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Bước 5.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}}{1}$

Bước 5.4.2.5

Chia $5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ cho $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$

Bước 5.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ .

$y' = x^{5 \sin (x)} \ln (x^{5}) \cos (x) + 5 x^{5 \sin (x) - 1} \sin (x)$