Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 1.4

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 1.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 1.5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 1.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 2.1.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.1.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 2.1.3.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 2.1.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.4.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 2 + 1$

Bước 2.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$u_{lower} = 3$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.5.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.5.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.5.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

Bước 2.5.1.4

Tính số mũ.

$u_{upper} = 2 + 2$

Bước 2.5.2

Cộng $2$ và $2$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

Bước 5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $4$ và tại $3$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.5

Nhân $2$ với $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.6

Di chuyển $3^{1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Bước 6.2.7

Nhân $3^{\frac{3}{2}}$ với $3^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Di chuyển $3^{- 1}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Bước 6.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Bước 6.2.7.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Bước 6.2.7.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Bước 6.2.7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Bước 6.2.7.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Bước 6.2.7.6.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Bước 6.2.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2

Nhân $2 (\frac{16}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2.2

Nhân $2$ với $16$ .

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Dạng thập phân:

$3.73846343 \dots$

Bước 9