Giải tích Ví dụ

$\int 2 x {(2 x + 3)}^{2} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x {(2 x + 3)}^{2} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 x + 3$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 x + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Bước 4.2

Nhân $\frac{u}{2}$ với $\frac{u^{2}}{2}$ .

$2 \int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Bước 4.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Bước 4.5

Cộng $1$ và $2$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Bước 4.6

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Bước 4.7

Kết hợp $- \frac{3}{2}$ và $\frac{u^{2}}{2}$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3 u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

Bước 4.8

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3 u^{2}}{4} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Bước 6

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Bước 10

Vì $\frac{3}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{3}{4}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{4} \int u^{2} d u))$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{4} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Bước 12.2

Rút gọn.

$2 (\frac{u^{4}}{16} - \frac{u^{3}}{4}) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 3$ .

$2 (\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{16} - \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{4}) + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 (\frac{1}{16} {(2 x + 3)}^{4} - \frac{1}{4} {(2 x + 3)}^{3}) + C$