Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Bước 1

Viết

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số

$F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm

$f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Bước 4

Giả sử

$u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Sau đó

$d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , nên

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng

$u_{2}$ và

$d$

$u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt

$u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Tìm

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm

$e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$e^{x} + e^{- x}$ đối với

$x$ là

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là

$a^{x} \ln (a)$ trong đó

$a$ =

$e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 4.1.4

Tính

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là

$f' (g (x)) g' (x)$ trong đó

$f (x) = e^{x}$ và

$g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

$u_{1}$ ở dạng

$- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là

$a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó

$a$ =

$e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u_{1}$ với

$- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.4.2

Vì

$- 1$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$- x$ đối với

$x$ là

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 4.1.4.4

Nhân

$- 1$ với

$1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 4.1.4.5

Di chuyển

$- 1$ sang phía bên trái của

$e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 4.1.4.6

Viết lại

$- 1 e^{- x}$ ở dạng

$- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

$u_{2}$ và

$d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5

Tích phân của

$\frac{1}{u_{2}}$ đối với

$u_{2}$ là

$\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u_{2}$ với

$e^{x} + e^{- x}$ .

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$

Bước 7

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số

$f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ .

$F (x) =$

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$