Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Bước 1

Viết $\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Sau đó $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , nên $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 4.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.4.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 4.1.4.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 4.1.4.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 4.1.4.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x} + e^{- x}$ .

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$

Bước 7

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$