Giải tích Ví dụ

$e^{x y} + \ln (x y) = 3$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (e^{x y} + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x y} + \ln (x y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.3.2

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.3.5

Nhân $y$ với $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Bước 2.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x y}$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.4.3.2

Kết hợp $\frac{x}{x y}$ và $y'$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.4.3.4

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $y$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Bước 2.4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Bước 2.4.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Bước 2.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Bước 2.4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Bước 3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, 1, y, x, 1$

Bước 5.1.2

Vì $1, 1, y, x, 1$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $1, 1, 1, 1, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $y^{1}, x^{1}$ .

Bước 5.1.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 5.1.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 5.1.5

BCNN của $1, 1, 1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 5.1.6

Thừa số cho $y^{1}$ là chính nó $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ xảy ra $1$ lần.

Bước 5.1.7

Thừa số cho $x^{1}$ là chính nó $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ xảy ra $1$ lần.

Bước 5.1.8

BCNN của $y^{1}, x^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$y x$

Bước 5.2

Nhân mỗi số hạng trong $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ với $y x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ với $y x$ .

$x e^{x y} y' (y x) + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$x \cdot x e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Di chuyển $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y \cdot y e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.1.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y = 0 (y x)$

Bước 5.2.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 (y x)$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $0 (y x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Nhân $y$ với $0$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 x$

Bước 5.2.3.1.2

Nhân $0$ với $x$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Trừ $y^{2} x e^{x y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x + y = - y^{2} x e^{x y}$

Bước 5.3.1.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Bước 5.3.2

Đưa $x y'$ ra ngoài $x^{2} y' y e^{x y} + y' x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $x y'$ ra ngoài $x^{2} y' y e^{x y}$ .

$x y' (x y e^{x y}) + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Bước 5.3.2.2

Đưa $x y'$ ra ngoài $y' x$ .

$x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1 = - y^{2} x e^{x y} - y$

Bước 5.3.2.3

Đưa $x y'$ ra ngoài $x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$

Bước 5.3.3

Chia mỗi số hạng trong $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ cho $x (x y e^{x y} + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ cho $x (x y e^{x y} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x y e^{x y} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.2

Để viết $- \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x y e^{x y} + 1) x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.3.1

Nhân $\frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ với $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{(x y e^{x y} + 1) x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(x y e^{x y} + 1) x$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{x (x y e^{x y} + 1)} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y} x - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.5

Đưa $y$ ra ngoài $- y^{2} e^{x y} x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.5.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y^{2} e^{x y} x$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.5.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.5.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y' = \frac{y (- x y e^{x y} - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- x y e^{x y} - 1$ và $x y e^{x y} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.7.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.7.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1 (1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x y e^{x y}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.7.4

Viết lại $- (x y e^{x y} + 1)$ ở dạng $- 1 (x y e^{x y} + 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.7.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Bước 5.3.3.3.7.6

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Bước 5.3.3.3.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.8.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Bước 5.3.3.3.8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$