Giải tích Ví dụ

$y' = y x^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$\frac{d y}{d x} = y x^{3}$

Bước 2

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x^{3})$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{3}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3}))$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x^{3})$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Bước 2.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = x^{3} d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{3} d x$

Bước 3.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Bước 3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Bước 4.2

Viết lại $\ln (| y |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y |$

Bước 4.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Bước 4.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Bước 5

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ ở dạng $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{x^{4}}{4}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}}$

Bước 5.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}}$