Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[0, 1]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{4}{x - 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 2 = 0$

Bước 1.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 2}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 2}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 1]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

Bước 7

Nhân $4$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

Bước 8

Giả sử $u = x - 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 8.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 8.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Bước 8.3

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Bước 8.5

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

Bước 10

Tính $\ln (| u |)$ tại $- 1$ và tại $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

Bước 11

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 1$ và $0$ là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

Bước 12.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 2$ và $0$ là $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 13.2

Cộng $1$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 14

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 14.1.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 14.2

Nhân $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ với $1$ .

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

Bước 15

Rút gọn $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

Bước 16

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

Bước 17

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

Bước 18

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

Bước 19