Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ ,

$[0, 1]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng

$[a, b]$ . Để tìm hiểu xem

$f (x)$ có liên tục trên

$[0, 1]$ không, hãy tìm tập xác định của

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt mẫu số trong

$\frac{4}{x - 2}$ bằng

$0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 2 = 0$

Bước 1.2

Cộng

$2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của

$x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 2}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 2}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên

$[0, 1]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số

$f$ trong khoảng

$[a, b]$ được định nghĩa là

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

Bước 5

Vì

$- 1$ không đổi đối với

$x$ , hãy di chuyển

$- 1$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

Bước 6

Vì

$4$ không đổi đối với

$x$ , hãy di chuyển

$4$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

Bước 7

Nhân

$4$ với

$- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

Bước 8

Giả sử

$u = x - 2$ . Sau đó

$d u = d x$ . Viết lại bằng

$u$ và

$d$

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt

$u = x - 2$ . Tìm

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm

$x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$x - 2$ đối với

$x$ là

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 8.1.4

Vì

$- 2$ là hằng số đối với

$x$ , đạo hàm của

$- 2$ đối với

$x$ là

$0$ .

$1 + 0$

Bước 8.1.5

Cộng

$1$ và

$0$ .

$1$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho

$x$ trong

$u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Bước 8.3

Trừ

$2$ khỏi

$0$ .

$u_{lower} = - 2$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho

$x$ trong

$u = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Bước 8.5

Trừ

$2$ khỏi

$1$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho

$u_{lower}$ và

$u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng

$u$ ,

$d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

Bước 9

Tích phân của

$\frac{1}{u}$ đối với

$u$ là

$\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

Bước 10

Tính

$\ln (| u |)$ tại

$- 1$ và tại

$- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

Bước 11

Sử dụng tính chất thương của logarit,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

$- 1$ và

$0$ là

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

Bước 12.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

$- 2$ và

$0$ là

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân

$- 1$ với

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 13.2

Cộng

$1$ và

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 14

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Triệt tiêu thừa số chung

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 14.1.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Bước 14.2

Nhân

$- 4 \ln (\frac{1}{2})$ với

$1$ .

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

Bước 15

Rút gọn

$- 4 \ln (\frac{1}{2})$ bằng cách di chuyển

$4$ trong logarit.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

Bước 16

Áp dụng quy tắc tích số cho

$\frac{1}{2}$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

Bước 17

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

Bước 18

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$4$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

Bước 19