Giải tích Ví dụ

$\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x \cdot 2 + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 5

Sắp xếp lại $x$ và $2$ .

$\int \frac{2 \cdot x + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{1} x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{1} x^{1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{2 x + x^{1 + 1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 9.2

Sắp xếp lại $2 x$ và $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 9.3

Viết lại ${(x + 1)}^{2}$ ở dạng $(x + 1) (x + 1)$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Bước 10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Bước 11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Bước 12

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Bước 13

Sắp xếp lại $x$ và $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Bước 14

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Bước 15

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Bước 16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Bước 17

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Bước 17.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Bước 17.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Bước 17.4

Nhân $1$ với $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Bước 18

Cộng $x$ và $x$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 19

Chia $x^{2} + 2 x$ cho $x^{2} + 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Bước 19.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Bước 19.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Bước 19.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 2 x + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Bước 19.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
									-	$1$

Bước 19.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 20

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 21

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 22

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 23

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Bước 23.1.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 23.1.1.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Bước 23.1.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 23.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 23.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Bước 23.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 23.1.5

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 23.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 23.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 23.1.6.1.2

Chia $A$ cho $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 23.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x + 1)}^{2}$ và $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.6.2.1

Đưa $x + 1$ ra ngoài $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Bước 23.1.6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.6.2.2.1

Nhân với $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Bước 23.1.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Bước 23.1.6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Bước 23.1.6.2.2.4

Chia $B (x + 1)$ cho $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Bước 23.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Bước 23.1.6.4

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = A + B x + B$

Bước 23.1.7

Sắp xếp lại $A$ và $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Bước 23.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = B$

Bước 23.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A + B$

Bước 23.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Bước 23.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Bước 23.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $0$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $1 = A + B$ bằng $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Bước 23.3.2.2

Rút gọn $1 = A + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.3.2.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.3.2.2.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Bước 23.3.2.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.3.2.2.2.1

Cộng $A$ và $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Bước 23.3.3

Viết lại phương trình ở dạng $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Bước 23.3.4

Giải hệ phương trình.

$A = 1 B = 0$

Bước 23.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = 1, B = 0$

Bước 23.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Bước 23.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.5.1

Chia $0$ cho $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Bước 23.5.2

Loại bỏ số 0 từ biểu thức.

$x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 24

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 24.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 24.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 24.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 24.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 24.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x + C - \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 25

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$x + C - \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 25.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C - \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 25.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x + C - \int u^{- 2} d u$

Bước 26

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$x + C - (- u^{- 1} + C)$

Bước 27

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Rút gọn.

$x - - \frac{1}{u} + C$

Bước 27.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x + 1 \frac{1}{u} + C$

Bước 27.2.2

Nhân $\frac{1}{u}$ với $1$ .

$x + \frac{1}{u} + C$

Bước 28

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$x + \frac{1}{x + 1} + C$

Bước 29

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{x + 1} + C$